Ünlü matematikçiler ve matematiğe katkıları

Öklid (Euclides)

Öklid (Euclides) kimdir?

Öklid, MÖ. 330 -275 yılları arasında yaşamış olan iskenderiyeli ünlü matematikçidir. Geometrinin babası sayılan Öklid, önce Yunanistan’da eğitim almış daha sonra iskenderiye’de kendi okulunu kurmuştur. 13 cilt halinde olan Elementler isimli kitabı geometrinin ilk kitabı olarak bilinmektedir
Bu kitabı hazırlarken diğer ünlü matematikçiler olan Pisagor, Platon, Tales ve Aristotales’in çalışmalarına da yer vermiştir. Yaklaşık 2 bin yıl bu kitap ders olarak okutulmuştur. Düzlemlerin geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar, katı cisimler geometrisi Öklid’in kitabında en fazla yer verdiği noktalardır. Ünlü bilim adamı Einstein, ‘Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapamaz’ demiştir. 20. Yüzyılın ortalarına kadar ders kitabı olarak rakipsiz olan Öklid’in hayatı hakkında tam bir bilgi yoktur. 

Nil nehrinin taşması ile bu alanları hesaplamakta geometri kullanılmıştır. Daha sonrası Babil, Hint ve Çinlilerde geometri gelişime uğramıştır. Fakat, kullanılan geometri tahminler ile yürütülüyordu. Öklid’e göre, matematiğin sağlam ve mantıksal temeller üzerine oturması gerekiyordu. Bu nedenle Öklid, ölçmeler ile yetinmemiş ve bunları mantıksal olarak ispatlamıştır. Kendi okulunda binlerce talebe yetiştiren Öklid, günümüze kadar dehası ile gelmiştir. Hazır cevaplılığı ve zekası ile anlatılan Öklid’in yaşamı hakkında ki bilgiler elimizde azdır.

Isaac Newton

25 aralık 1642 yılında Woolsthropede dünyaya gelen Isaac Newton’ın babası o doğmadan önce vefat etmiştir. Annesi ise Isaac 2 yaşında iken tekrar evlenmiştir. Çocukluğunun önemli bir bölümünü büyükannesinin yanında geçiren Newton burada el işi konusunda becerilerini farketmiş ve bu becerilerini geliştirmeye yönelmiştir. 
Isaac Newton'ın matematikte neredeyse her dalda katkıları olmuştur. Özellikle analitik geometride eğrilerin teğetleri (diferansiyel) ve eğrilerin oluşturduğu alanları (integral) hesaplamada yöntemler geliştirmiştir.Bu iki işlemin birbirlerine ters olduğunu bulmuş, eğimler ile ilgili çözümler geliştirmiş ve bunlara akış (fluxion) metotları ismini vermiştir çünkü niceliklerin bir boyuttan diğerine aktığını hayal etmiştir. Newton Matematikte (a+b)ª ifadesinin üstel seriye açınımını veren genel iki terimli teoremini buldu.

Leonhard Euler

Euler, Leonhard (1707 – 1783), İsviçreli matematikçi ve fizikçi. Basel (İsviçre)de doğmuş, Petersburg (Leningrad – Rusya) da ölmüştür. Matematik, astronomi ve fizik alanlarında genişçe çalışmalar yapmıştır.
Euler, ilk matematik derslerini babasından almış, Basel Üniversitesi’nde okumuş, matematik haricinde ilahiyat, tıp ve doğu dilleri de çalışmıştır.
Çoğu bilim adamı tarafından matematiğin Mozart'ı olarak anılmaktadır
En üretken matematikçilerden biri olarak çalışmalarının bütünü 70 cildi aşmaktadır.
1776 yılında; Katerine II tarafından, Saint-Petersburg'a çağrıldığı sırada, gözünü kaybetti. Fakat bu sakatlık onu çalışmalarından alıkoymadı ve İntegral Hesabın Kuruluşları (İnstitutiones Calculi İntegralis) (1768-1770) adlı eserinin çıkmasına engel olmadı.
Euler, matematikte yeni olan; Euler Açıları, Euler Çemberi, Euler Değişmezi, Euler Doğrusu, Euler Formülleri, Euler Fonksiyonu, Euler şekilleri gibi, pek çok yeni kavramlar kazandırdı.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (d. 5 Ağustos 1802, Findø adası/Stavanger - ö. 6 Nisan 1829, Froland),

Norveçli matematikçi.

O dönemlerde, genç bir matematikçinin şöhreti yakalayabilmek için tek çaresi, Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirini kazanabilmek olduğundan, Abel, Paris'te zamanın büyük isimlerinden Cauchy'ye bir çalışmasını takdim eder. Oysa Cauchy kendi ünüyle meşguldür, kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder. Abel, Berlin'de tanıştığı Crelle adlı matematikçinin teklifine uyarak onun yeni çıkaracağı matematik dergisine makale göndermeye başlar.
Bugün Crelle dergisi takma adıyla bilinen bu çok prestijli derginin ilk sayısında altı makalesi yayımlanır ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel'in matematiğe katkısı, eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir. Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hâlâ bilinmemekle birlikte, altında yatan temel kavramlar Abel'in ve çağdaşlarının çalışmalarıyla aydınlanmıştır.
Abel'in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece polinom denklemlerinin çözümleriyle ilgilidir. Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerinin çözümü yıllardır biliniyordu. Üçüncü derece polinom denkleminin çözümünü, 15. yy.da İtalyan matematikçi Cardano, dördüncü derece polinom denklemin çözümünü de Cardano'nun arkadaşı Ferrari, yine katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç almadan uğraşmışlardır. İşte Abel burada tarih sahnesine çıktı ve beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi. Bazı özel beşinci derece denklemlerin çözümünün bulunduğu halde, her denkleme aynı şekilde uygulandığında, bize çözümü verecek bir metodun olmadığını ispatladı.
Abel, matematikte elde ettiği parlak sonuçlara rağmen hayatı boyunca doğru dürüst bir iş bile bulamadı. Matematikçi olarak kendisini Avrupa'daki matematik çevrelerine bir türlü kabul ettiremedi. Sonunda 26 yaşında, yokluk içinde veremden öldü. Ölümünden iki gün sonra adına bir mektup geldi. Berlin Üniversitesi'nden gönderilen mektupta, Abel'in ölümünden habersiz, genç matematikçiye çalışmalarının dikkat çektiği ve üniversitede iş teklif edildiği bildiriliyordu. Öldükten sonra anlaşılma olgusunun bu denli tez gerçekleştiği bir daha görülmedi.

"İlimleri ilerletmenin en kestirme yolu matematik bilmek, öğrenmek ve yapmaktır"

ABEL

 

 

Pisagor

 

Pisagor (Pythagoras) Kimdir

Pisagor milattan önce 570-495 yılları arasında yaşamış ve matematiğe olan katkıları azımsanamayacak nitelikte olan matematikçi, filozof ve dini liderdir. Pisagor’un gençlik yaşamı hakkında çok fazla bilgi bilinmemekle birlikte, Ege Denizi’ndeki Sisam Adası’nda doğduğu düşünülür. Babasının tüccar olması olasıdır. Annesinin adı büyük ihtimalle Pythais’dir. Pisagor’un birçok öğretmeni olmuştur onların birçoğu Yunan iken bir kısmı da Mısırlı’dır.

Matematiğe Katkıları

 

1-Pisagor Teoremi

Pisagor’un matematiğe olan en büyük katkısı Pisagor Teoremi diye bildiğimiz, Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı diğer kenarın karesine eşittir önermesidir. Bu teorem ilk olarak Mısır’da kullanılsa da, Pisagor’un bu teoremin ispatını yapan kişi olması teoremin onun adıyla çağrılmasına sebep olmuştur.

 

2-Geometri

Pisagor şu aksiyomları bulan kişidir.

·         Üçgenin iç açıları toplamı iki dik açının toplamına eşittir

·         Üçgenin dış açılarının toplamı dört dik açının toplamına eşittir

·         Bir dörtgenin iç açıları toplamı 2n-4 tane dik açının toplamına

 ( (n-2).180 ) eşittir, n dörtgenin kenar sayısı

·         Herhangi bir dörtgenin dış açılarının toplamı dört tane dik açının toplamına eşittir.

·         Verilen bir dörtgenin alanından onu kenarlarını bulmak için geometrik cebiri kullanmıştır. Örneğin a . (a-x) = x   gibi bir denklemin çözümü.

Her ne kadar bunun gibi birçok aksiyon Pisagor’dan önce de biliniyor olsa, o mantığını ve aksiyomları kullanarak ilk prensipleri inşa etmiştir. Ayrıca Pisagor matematiğin komple bir sistem olduğunu keşfetmiş ve sayılar ile geometrinin ilişkili olduğunu göstermiştir.

 

3-Sayılar

Pisagor’un okulunun sloganı Her şey sayıdır. Pisagor sayı bilimi ile çok işlevsel bir şekilde ilgilenmiştir. Pisagor evrenin inşasının temelinde sayıların olduğuna inanıyordu. Sayıların arkasına gizlenen ilginç modeller üzerinde çalışıyordu. Fakat kesirli sayılarla ilgilenmedi. Daha çok düzgün oranlarla ilgilendi. Bu inanç Yunan felsefesini de şekillendirdi Onun düşüncesine göre her sayının kendi karakteri ve anlamı vardır.

·         Bir; bütün sayıların oluşturucusu

·         İki; Düşünce

·         Üç; Ahenk

·         Dört; Adalet

·         Beş; Evlilik

·         Altı; Yaratma

·         Yedi; Gezegenler

·         Ayrıca tek sayılar dişi, çift sayılar erkek olarak düşünülür.

·         10 sayısı ise onun gözünde sihirli bir sayıdır.

4 satırdan oluşan birinci satırda 1, ikinci satırda 2, üçüncü satırda 3, dördüncü satırda 4 noktanın doğrusal dizilmesiyle toplam 10 noktadan oluşan üçgen (tetractys ) Pisagor’un gözünde önemli bir yeri vardı.

 

4-İrrasyonel Sayılar

Pisagor teoreminin matematiğe bir başka katkısı da irrasyonel sayıların bulunmasıdır. Pisagor’un öğrencilerinden Hippasus, Pisagor Teoremini kullanarak dik kenarları 1 birime eşit olan dik üçgenin diğer kenarının eşit olduğu sayıyı bulmaya çalışmıştır. Sonunda fark etmiştir ki kök iki sayısı iki sayının oranı şeklinde yazılamaz. Bu buluş da matematikte yeni bir dünyanın kapılarını açmıştır. Önceden aksi ispat edilene kadar bütün sayıların rasyonel olduğu kabul edilmiş. Bu fikri Pisagor güçlü bir şekilde savunmuş Ama Pisagorun öğrencisi Hippasus Dik kenarı 1 olan ikizkenar dik üçgene Pisagor teoremisini uyguladığında elde edilen hipotenüsün karekök iki olması onun bir öğrencisini şüpheye sürüklemiş. Öğrenci karekök ikinin rasyonel bir şekilde yazılamayacağını ispatlamış ve hikayeye göre irrasyonel sayıların varlığını kabul etmeyen Pisagor öğrencisi Hippasus’un denizde boğularak öldürülmesi emrini vermiş.

5-Sayı teorisi

·         Pisagor sayı teorisi alanında buluşları vardır. Mesela mükemmel sayı kavramını bulmuştur. Bölenlerinin toplamı kendisine eşi,t olan sayılara mükemmel sayılar denir. Örneğin 6. 1,2,3 6’nın bölenleridir. 1+2+3=6

·         Bir başka buluşu ise tam kare sayılar ile ilgilidir. Bir n doğal sayısının karesi, ilk n tek sayının toplamına eşittir. Örneğin 5² = 1+3+5+7+9= 25.

·         Arkadaş sayıları da yine Pisagor bulmuştur. Eğer iki sayı birbirinin kendileri hariç bölenlerinin toplamına eşit ise bu sayılara arkadaş sayılar denir. Örneğin 220 ve 284.

220’nin  bölenleri 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ve 110. Bunların toplamı 284’e eşittir

284’ün bölenleri    1, 2, 4, 71 ve 142. Bunların toplamı da 220’ye eşittir.

 

6-Diğer Alanlar

Pisagor matematiğin yanı sıra felsefe ve müzik gibi diğer alanlara katkılarda bulunmuştur. Şüphesiz ki bu alanlar yaptığı katkıların temelinde matematik düşüncesi yatmaktadır.

Ali Kuşçu

Ali Kuşçu'nun matematiğe katkıları:

Matematik ve Astronomi alanında yaptığı çalışmalarla günümüzde hala etkisi süren Kuşçu'nun astronomi ve matematik alanında yazmış olduğu iki önemli eseri vardır.

Bunlardan birisi, Otlukbeli Savaşı sırasında bitirilip zaferden sonra Fatih'e sunulduğu için "Fethiye" adı verilen astronomi kitabıdır. Eser üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde gezegenlerin küreleri ele alınmakta ve gezegenlerin hareketlerinden bahsedilmektedir. İkinci bölüm Yer'in şekli ve yedi iklim üzerinedir. Son bölümde ise Ali Kuşçu, Yer'e ilişkin ölçüleri ve gezegenlerin uzaklıklarını vermektedir.

Döneminde hayli etkin olmuş olan bu astronomi eseri küçük bir elkitabı niteliğindedir ve yeni bulgular ortaya koymaktan çok, medreselerde astronomi öğretimi için yazılmıştır. Ali Kuşçu'nun diğer önemli eseri ise, Fatih'in adına atfen Muhammediye adını verdiği matematik kitabıdır.

Ali Kuşçu'nun Bazı Eserleri de Şunlardır:

·         Risale-i fi'l Hey'e (astronomi)

·         Şerh-i Tici Uluğ Bey (astronomi)

·         Risale-i fi'l Fethiye (astronomi, Risale-i fi'l Hey'e adlı eserinin Arapçasıdır)

·         Risale fi'l Muhammediye (matematik, cebir ve hesap)

Harezmi

Sıfırı Bulan Adam |Harezmi

Bilim dünyasında matematik, astronomi ve coğrafya alanındaki kalıcı eserleriyle tanınan, bilime sağladığı katkılarla Türk Dünyasını da temsil eden, özellikle cebir kitabıyla, "0" rakamını ortaya atmasıyla ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm sistemleriyle "Cebirin Babası" ünvanıyla tanınan Harezmi'nin hayatını, çalışmalarını ve eserlerini sizler için araştırdık.

Harezmi Kimdir?

Kısaca El-Harezmi olarak bilinen tam adı Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harezmi olan Fars olduğu da iddia edilen Türk bilim adamı, 780 yılında Özbekistan'da Harezm bölgesinde Hive şehrinde doğmuştur. İsmini doğduğu bölgeye ithafen alan Harezmi ilk eğitimini de Harezm'de almıştır.  Eğitimini ilerletme ve ilimsel araştırmalar, çalışmalar yapmak için Bağdat'a yerleşen Harezmi, buradaki alimlerden eğitimler almış, ayrıca dönemin Abbasi halifesi Me'mun'dan maddi manevi büyük destek görmüştür ve daha sonra Me'nun'un kurduğu Bağdat Saray Kütüphanesi'nin idaresini almıştır.
 

Bağdat Saray Kütüphanesi'ne gelen yabancı eserlerin tercüme edilmesi için kurulan tercüme akademisinde çalışan Harezmi, bu imkanla da dünyaca ünlü eserler üzerinde çalışma imkanı bulmuştur ve büyük eserlerini burada tamamlamıştır. Kendini birçok bilimsel alanda geliştiren Harezmi, bir dönem de akademik çalışmalar için heyet başkanı olarak Afganistan üzerinden Hindistan’a gitmiştir.
Harezmi’nin 3 oğlu olduğu ve hepsinin de özellikle matematik üzerine ciddi çalışmalar yaptığı bilinir. 780 yılında Harezm bölgesinde doğmuş olan El-Harezmi 850 yılında, ilmi çalışmalarını yaptığı ve eserlerini meydana getirdiği Bağdat’ta hayatını kaybetmiştir.  Şimdi Harezmi’nin matematik, astronomi, geometri ve coğrafya alanında yaptığı katkıları inceleyelim :
 
Matematiğe Katkıları

Harezmi’nin matematiğe en büyük katkısı, “El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele” isimli cebir kavramını ve denklemsel hesaplamaları içeren kitabıdır.  Bu kitabın orjinali şu an İngiltere Oxford, Bodlyn Kütüphanesinde bulunmaktadır. Ayrıca bu kitap dünyada ilk mustakil cebir kitabı olma özelliğini taşır.  Harezmi bu eseri ile matematik dünyasında ilk defa cebirin temelini ortaya atmıştır. Sonraki zamanlarda tamamladığı Hesab-ül Cebir vel-Mukabele isimli kitabı ile de birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm sistemlerini göstererek, "cebirin babası" ünvanını almıştır.  Aynı zamanda bu kitapta yer alan ikinci dereceden denklem çözme yöntemlerinden biri olan “el-cebr”, İngilizce’de algebra, Türkçe’de cebir kelimesine kaynak olmuştur.
 

Harezmi’nin çalışmalarına örnek verecek olursak, ikinci dereceden denklemleri beş duruma ayırmıştır:
► İkinci dereceden ve birinci dereceden olan terimler birbirine eşittir:
   (ax² =bx)
► İkinci dereceden olan terimler sabit bir sayıya eşittir:
   (ax² =c) 
► İkinci dereceden ve birinci dereceden olan terimlerin toplamı sabit bir sayıya eşittir: 
    (ax² +bx= c)
► İkinci dereceden olan terim ile sabit sayının toplamı birinci dereceden olan terime eşittir:
   (ax² +c=bx)
► Birinci dereceden olan terim ile sabit sayının toplamı ikinci dereceden olan terime eşittir:

(bx+c=ax²)

Harezmi’nin matematik dünyasına yaptığı en büyük katkılardan biri de “sıfır”dır.  Matematiğe “0” rakamını, Hindistan’daki sayıları ifade etmek için harfler veya heceler yerine basamaklı sayı sisteminin kullanılmasını görmüş, Latince olarak sunduğu Algoritmi de numero Indorum isimli kitabıyla da Batı dünyasına tanıtmıştır. ( Bu kitap Kitab-ul-Muhtasar fil-Hisab-il-Hindi isimli orjinal haliyle Cambridge Üniversitesi Kütüphanesi’nde bulunmaktadır.) Harezmi’nin bu katkılarından ayrı olarak geometri ve trigonometri alanında da çalışmalar yapmış, kitaplar yazmıştır.

Astronomi’ye Katkıları

Astronomi alanında en önemli eserlerinden biri Kitabu Cedavil-in-Nücûm ve Harekatiha’dir. Yıldızlar ve gezegenlerle ilgili olup, hareketlerini inceler. Ayrıca astronomiye dair   Zîc-ul Harezmî, Kitab al-Amal bi'l Usturlab ve  Kitab'ul Ruhname isimli üç eseri daha vardır. Bu eserlerinde güneş ve  ay tutulmalarını incelemiş,  astronomik cetveller ve tablolar hazırlamıştır. Ayrıca astronomik araştırmalar için trigonometrik cetveller de bu eserlerde bulunur. Bu çalışmalar asırlarca bilim dünyasında rehber olarak kullanılmış ve geliştirilmiştir.

Harezmi, Bağdat’ta sürdürdüğü çalışmalar sayesinde bunlar dışında onlarca eser hazırlamış, yüzyıllarca ilim dünyasına rehber olmuştur ve bugün yaptığımız birçok  çalışmanın temelini oluşturmuştur. Ayrıca eserleri dünyanın en büyük kütüphanelerinde ve üniversitelerinde halen kullanılmakta ve özenle saklanmaktadır.

Atatürk’ün Matematiğe Yaptığı Katkılar

“Müsellesin, zaviyetan-ı dahiletan mecmu’ü 180 derece ve müselles-i mütesaviyü’l-adla, zaviyeleri biribirine müsavi müselles demektir.”

Osmanlıca bilmeyenlerimizin bu cümleyi anlayacağını sanmıyoruz.

Bugün kullandığımız Türkçe ile yukardaki cümle şu anlama geliyor: “Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve eşkenar üçgen, açıları birbirine eşit üçgen demektir.”

1937 yılından önce öğrenciler matematiği Osmanlıca terimlerle öğreniyorlardı. Daha doğrusu öğrenmiyorlar, ezberliyorlardı. Ta ki, Atatürk’ün bizzat yazdığı Geometri kitabında yeni matematik terimler geliştirilene kadar. 1937 yılının Kasım ayında yeni bir eğitim ve öğretim yılına girilirken, Mustafa Kemal Atatürk, Türk Dil Kurumu’nun çeşitli bilim dallarına ait Türkçe terimleri saptadığını, bu sayede dilimizin yabancı dillerin etkisinden kurtulma yolunda esaslı adımını attığını ilan eder. Aynı yıl okullarda, eğitim Türkçe terimlerle basılmış olan kitaplarla başlar ve bu olay kültür hayatı için önemli bir adım olur. Atatürk, dilde özleşmeyi olanakların son kertelerine kadar zorlamış, bilim ve düşün dilinin sadeleştirilmesinin ve eğitimin Türkçe yapılmasının gerekliliğini önemle vurgulamıştır.

Atatürk’ün geometri kitabı;Bilimsel terimlerin Türkçeleştirilmesinde karşımıza çıkan ilk adım yine, Atatürk’ün 1936-37 kış aylarında kendisinin yazdığı ve geometri öğretiminde yol gösterici olarak tasarlanan 44 sayfalık bir geometri kitabı. Kitap, 1937’de Milli Eğitim Bakanlığı tarafından yazar adı konmadan yayınlanmış, 1971 yılında da ikinci bir baskısı Türk Dil Kurumu tarafından çıkarılmış. Kitapta yer alan, günümüzde de kullanılmakta olan pek çok terim, Atatürk tarafından türetilmiş. Atatürk’ün türettiği sözcükler ile daha önce kullanılan Osmanlıca sözcükler karşılaştırıldığında yapılan işin önemi ortaya çıkıyor. Tablodan da görülebileceği gibi bugün kullandığımız matematik terimlerinin hemen hemen tamamı Atatürk tarafından türetilmiş, başka bir ifadeyle bu sözcüklerin büyük çoğunluğu tutmuş.

 Atatürk’ün önerdiklerinden sadece “varsayı, pürüzma, dikey üçgen, dikey açı, tümey açı, imsiy, ökül, yüre” terimleri yerine, bugün sırasıyla “varsayım, prizma, dik üçgen, dik açı, tümler açı, benzerlik, tüm/bütün, küre” terimleri kullanılıyor.

 Osmanlıca yerine Atatürk tarafından önerilerek bugün dilimize yerleşen bazı kavramlar sırayla belirtilmiştir.

 Bu’ud - boyut,mekan - uzay,satıh - yüzey,kutur - çap,nısf-ı kutur - yarıçap,kavis - yay,muhit-i daire - çember ,mümâs - teğet,zâviye - açı,re’sen mütekabil zâviyeler - ters açılar,zâviyetan’ı mütabâdiletân-ı dâhiletan - iç ters açılar,kaaide - tabanufkî - yatay,şâkulî - düşey,amûd - dikey,zâviyetân-ı mütevâfıkatân - yöndeş açılar,va’zîyet - konummustatîl - dikdörtgen,muhammes - beşgen,müselles-i mütesâviyü’l-adlâ’ - eşkenar üçgen,müselles-i mütesâviyü’ssâkeyn -ikizkenar üçgen,münharif - yamuk,mecmû - toplam,nisbet - oran,tenasüb - orantı,mesâha-i sathiyye - alan,müştak - türev,müsavi - eşit,mahrut - koni,faraziye - varsayı,hat - çizgi,mukavves - eğri,seviye - düzey,dılı - kenar,muvazi - paralel-koşut,menşur - pürüz,mahattı mail - eğik,veter - kiriş,re’s - köşe,zaviyei hadde - dar açı,hattı munassıf - açıortay,muhit - çevre,kaim zaviyeli müselles - dikey üçgen,tamamlıyan zaviye - tümey açı,murabba - kare,mümaselet - imsiyumumi totale - ökül,küre - yüre